Simetrías en Granada: indagando en la estructura de la belleza

0:00 lo que sería la vigésima segunda edición del ciclo Lucas Lara. Ya llevamos unos cuantos años aquí presentando charlas y también nos da mucha alegría ver que encontrarnos a muchas caras conocidas en este tipo de actividades. Hoy empezamos, como ya digo, este este ciclo del curso 2017-2018 y lo empezamos con un matemático. No es la primera vez que él está aquí. Esta es la segunda vez y, aparte de que nos conocemos personalmente y que digamos, ya sabía yo de su avalía y de sus capacidades de comunicación y de y sobre todo, ¿no?, de generar ambiente en los que la ciencia se convierte en algo agradable de participar, él tuvo, digamos, en la primera intervención que tuvo en esta casa, habló sobre uno de sus temas preferidos de investigación, que es la criptografía matemática. Y habló sobre uno de los casos más famosos que habéis visto muchas películas, probablemente, hay muchas de ellas que ya se han hecho últimamente, creo que ha habido dos en los últimos cinco años o algo así, que era sobre la máquina de encriptar de la Segunda Guerra Mundial que tenían los alemanes que se llamaba Enigma y que se creía que era indescifrable. Fue precisamente la historia de este matemático también tan famoso, este matemático inglés, el que dio lugar, bueno, ha dado lugar también allá a bastantes leyendas, incluso forma parte de lo que hoy es un poco, como decirlo así, la fundación de los propios de la propia computación, que fue capaz, digamos, de descifrar lo que era los mensajes cifrados de la máquina Enigma.

1:42 Él nos dio esa conferencia y, efectivamente, los que estuvieron presentes, que no sé si por aquí hay alguno de los que estuvieron presentes allí, lo recuerdan con cariño, o sea, recuerdan efectivamente que aquello fue una conferencia muy entretenida, muy divertida y de la que se aprendió mucho, ¿no? Pero bueno, Álvaro, como ya digo, Álvaro es granadino, de Monachil, con más seña, y principalmente ha trabajado en la Universidad de Granada, él es matemático, ha trabajado en teoría de grupos y en criptografía, han sido sus principales temas de investigación. Ha tenido proyectos de investigación liderados por él trabajando sobre este tema. Pero Álvaro tiene muchísimas facetas, no es una persona, los que los conocemos cada día casi nos abre una nueva faceta, ¿no? Con Álvaro es difícil ir a cualquier sitio porque te puede montar una piragua o te puedes subir a escalar a un monte o te puedes, te puedes meter en un lío, ¿no? Entonces hay que pensárselo muy bien cuando te dices vámonos ahí a cualquier lado, es una cosa que a veces puede resultar complicada. Pero ha hecho muchísima divulgación y ha hecho divulgación de muy buena calidad, eh. De hecho, esto que hoy nos va a contar viene un poco como una especie de resumen hablado, porque ya tiene un resumen varga la palabra escrito, que va a salir dentro de poco un libro, donde precisamente él nos va a hablar, o sea, es esta estas ideas extendidas,

3:10 pero que empezaron siendo una actividad divulgativa dentro de una serie de de actividades divulgativas generales que se iban haciendo a lo largo del año, que era pasear por Granada e intentar ver en las fachadas, en los edificios de Granada, ¿qué matemática había ahí detrás? ¿Qué matemática y cómo esa matemática podía ser incluso definitoria o descriptiva de un arte? Como, por ejemplo, a lo mejor podríamos diferenciar a partir de simetrías definidas puramente matemáticas lo que es un barroco de un renacimiento. Una manera, si queréis incluso, de cuantificar algo con un aspecto tan subjetivo y tan personal, eh, digamos, como podría ser nuestra apreciación de eh un objeto artístico. Pero como decía, que estamos también en época de process y que, bueno, antes estábamos viendo ahí, pensamos que muchos de ustedes, probablemente, de los que casi siempre vienen, se hayan quedado viendo eh por la televisión, ¿no? Que había también ahí otras cosas interesantes, pero por eso quería decir que él también ha sido político. Él ha sido diputado, diputado y senador ha sido, ¿no? En la en la Junta de Andalucía y también es tertuliano, eso no tomárselo muy muy en muy a mal, ¿no? O sea, digamos, a pesar de eso, sabe matemáticas y sabe contárnoslo y nos lo va a contar. Pero casi ha sido también tertuliano en la radio, eso ya, eso ya son palabras mayores, pero espero que ya eso ya llevarse bien ya con un tertuliano eso ya es otra cosa, ¿no?

4:43 Eh, yo creo eso, yo yo me había desinado, yo no me había desinado tampoco. Muy bien, entonces, yo creo que ya lo conocéis un poco más y y os lo dejo para que nos cuente esto de simetría en Granada, cuando quieras.

5:12 Bueno, yo quiero empezar agradeciendo a Emilio, en primer lugar, Emilio Alfaro, como director de este ciclo, no solo la invitación a venir aquí por segunda vez. A mí esta es una casa que me gusta, porque yo sé que esta es una casa de la ciencia donde se habla y se explica muy buena ciencia y se hace muy buena divulgación. Ya lo ha comentado, es la segunda vez que vengo y mi gratitud tremenda por haberme invitado esta segunda vez y también por hacerme estas presentaciones que me hace, ¿no? Que casi me sacan los colores, ¿no? Pero bueno, básicamente él ha cuadrado un poco el tema, ¿no? Si me permitís la analogía taurina, él ha cuadrado un poco el asunto. Esta es una tarde complicada porque tenemos un thriller político en la televisión, que hay una competencia muy dura, ¿no?, para para dar una conferencia, pero yo voy a tratar de entretenerle a ustedes y voy a tratar de contarle algo que de alguna manera pues les sugiera nueva idea o que de alguna forma les dé información y les dé una nueva perspectiva sobre lo que tenemos todos los días en la ciudad de Granada, ¿no? Eh, bueno, pues dicho eso, como también ha comentado Emilio antes, esto empezó siendo una actividad de divulgación. Yo empecé haciendo eh digamos como alternativa en unos eh en unos cursos que daba en unos digamos sobresaliente en en bachillerato que venían a Granada, que no tenían otra alternativa, que los llevaban un poco siempre a los mismos sitios, pues tratar de hacerle una ruta en matemáticas, ya que ellos venían

6:43 a a una a unos campus científicos, unos campus científicos de verano, traté de hacerle una ruta en matemáticas y bueno, haciendo las rutas en matemáticas, pues me fui encontrando poco a poco con que los monumentos tenían muchas más matemáticas detrás de lo que aparentaban, ¿no? A veces aparentaban un edificio y tenía mucho y a veces no aparentaban nada y también tenían. Y que esas matemáticas no solo eran, digamos, unas matemáticas formales, sino que a veces estaban muy ligadas a la propia historia del edificio y a la propia construcción, ¿no? Bueno, de esto os lo he contado de muchas formas, pero yo entonces hoy quería hacer un abordaje a través de la simetría, ¿no? Eh, a través de la simetría, entendiendo la simetría como un hecho consustancial a la naturaleza y a la obra humana, ¿no? Entonces, voy a referirme en primer lugar, he tratado de hacer un poco una una clasificación de lo que vamos a contar. Voy a hablar un poco de simetría en ciencia, dado que estamos en una gran casa de la ciencia. Voy a hablar de simetría en ciencia y voy a referirme, no trato de hacer en ninguna sistemática, por supuesto, ningún compendio, pero sí mostrar algunos puntos que levanten de dónde aparecen las simetrías en ciencia. Luego, abordaré cómo aparecen la simetría en el patrimonio monumental granadino y lo abordaré desde el punto de vista de la estructura de la belleza. Estas no son todas las matemáticas que ocurren, las matemáticas son muchas más, porque hay matemáticas no simétricas,

8:07 es decir, hay matemáticas donde el concepto de simetría no tiene relevancia, pero eh yo lo voy a enfocar desde el punto de vista de la simetría porque creo que el concepto de simetría está muy ligado al concepto de la comprensión de la belleza culturalmente, por el ser humano, ¿no? Eh, voy a dar un breve apéndice sobre direcciones futuras para ligarlo con la investigación eh que ahora mismo me me preocupa, de hecho, es decir, que este tema que empezó siendo pues una actividad divulgativa, que pasó a convertirse en un objetivo de hacer un libro que está ya en imprenta y que tiene 600 páginas y que se va a presentar el próximo mes de diciembre, 600 páginas y 700 y pico imágenes, pues finalmente se ha convertido en un tema de investigación, es decir, se ha convertido en un tema de investigación porque tiene la suficiente cantidad de de cuestiones abiertas como para efectivamente indagar sobre ellos. Y os voy a dar algunas direcciones sobre las que estamos indagando ahora mismo eh entre varios entre varios componentes, entre algunos matemáticos, un informático eh sobre los que estamos trabajando, ¿no? Y finalmente voy a hablar de un pequeño epílogo para dejarles buen sabor de boca en un día de competencia tan dura, como hemos dicho, de Lorca y la simetría, muy ligado a la ciudad y muy ligado al concepto que queremos ver, ¿no? Eh, voy a empezar con una frase de Borges, que se la he ideado a nuestro anfitrión, Emilio Alfaro le gusta, ¿no?

9:32 A la realidad le gustan las simetrías y los leves anacronismos, decía Jorge Luis Borges en El Sur. Eh, está presente por todos lados, porque, entre otras cosas, vemos nosotros en forma eh de alguna manera el mundo así, ¿no? Pero también nos aburre la simetría continua, nos aburre una simetría que sea estrictamente repetitiva y tratamos de pausar esa simetría, tratamos de alguna manera de ponerle un contrapunto, ¿no? se refería sin duda a algo más con lo de leve anacronismo, pero se refería a la ruptura de de esta simetría. Bueno, en la naturaleza encontramos simetría por todos lados, encontramos simetría prácticamente en casi todos los animales, pues tienen un plano de simetría especular, casi todos los insectos, prácticamente todos los insectos, y los que no tienen un plano de simetría especular es porque digamos su dimensión, su movimiento en el espacio está definido por, no una dirección de avance. Casi todos los animales que tienen un plano de simetría especular, un plano de simetría de espejo central, tienen una dirección de avance. Y los que no tienen simetría especular es porque la dirección de avance es espacial en todos sitios. Por ejemplo, una araña o por ejemplo un pulpo, digamos la araña viene definida su simetría que no es central, que no es especular, sino que es ortogonal, viene definida porque tejen las telas de araña, es decir, porque su ocupación es espacial en todos los lados

10:59 a la vez o, por ejemplo, las estrellas de mar vienen también definidas por por por este hecho, ¿no?

11:05 ¿Se puede pensar en un animal no simétrico? Al menos, ¿se puede pensar en un animal vertebrado no simétrico, en un animal superior no simétrico? ¿A alguien se le ocurre alguno? El lenguado

11:24 Efectivamente. Efectivamente. Efectivamente, es difícil pensar en un animal no simétrico. Es difícil, casi todos los animales, los peces, casi todos los animales se puede uno partir por la mitad, tienen un eje de simetría al menos externo, aunque internamente las vísceras estén repartidas de otra manera, pero el lenguado o este tipo de peces, pues resulta que parece no simétricos, tienen los dos lados, los dos ojos por un lado, justamente porque sobre y otro andan por el fondo. Bueno, es una lástima que no tengamos la red y un monton, pero yo les voy a les voy a citar a Vimeo, vayan a Vimeo, que es un repositorio, es como un stock de de vídeo, y entonces en Vimeo pongan evolución del lenguado, que es justamente lo que yo tenía aquí. No sé por qué hoy está fallando todo, pero ya digo, a mí me funciona en la facultad de bien de ciencia humana. Y hace poco he estado en el IEF, pues llego allí, abro el ordenador y me conecta el router en Austria, pero aquí, en fin, debe ser el ordenador. La evolución de un lenguado. Este vídeo, se lo cuento, no podemos tenerlo, pero pone cómo cómo es la evolución de un lenguado desde que nace. El lenguado nace desde pequeñito con un pez absolutamente simétrico, con los dos ojos uno de cada lado, y conforme va creciendo desde su estado inicial de nacimiento, un ojo se va desplazando hacia arriba poco a poco, poco a poco, hasta que el ojo llega a la dorsal, hasta el eje de simetría

12:56 y finalmente se pone del otro lado. Es decir, el lenguado ha evolucionado hacia esta situación, pero incluso el único animal que, bueno, pocos animales, hay algún otro, pero muy raros, cada uno más raro, de los pocos animales superiores que nos encontramos no simétricos nacen como animales simétricos. Esto está fundamentalmente originado porque la dirección de movimiento impone una condición de simetría, es la condición de ocupación del espacio. La dirección de movimiento y la condición de simetría imponen una ocupación del espacio hacia un lado o hacia otro mientras uno avanza en una dirección, mientras uno sigue una flecha, ¿no?

13:33 Pero tenemos, digamos, en ciencia otro ejemplo muy clásico de simetría, ¿no? Tradicionalmente las estrellas de nieve y aficionados a la ciencia para ver la simetría, la fabulosa simetría hexagonal de los cristales de nieve. Cada cristal de nieve es distinto. Aparentemente tienen simetría hexagonal, pero en realidad no es simetría hexagonal, cristalográficamente es una simetría trigonal, que está formada por cómo se unen las moléculas de agua. Hay un átomo de hidrógeno, dos átomos de oxígeno, esos átomos forman una estructura trigonal, pero trigonal en el espacio, no trigonal en un plano, y al unirse cada átomo de hidrógeno con los de oxígeno, pues van formando una red que da el aspecto de red hexagonal, aunque en realidad cristalográficamente es una red trigonal, ¿no? Bueno, el hecho de que cada copo de nieve sea distinto tiene forzado por cómo se unen las moléculas de agua. El crecimiento rápido da lugar a lo que se llama la fractalidad, es decir, da lugar a lo que se llama la repetición por autosemejanza del modelo a escalas más pequeñas, ¿no? Y aparecen, bueno, pues todas estas formas de estrellas de nieve que ustedes habrán visto en numerosas ocasiones y que digamos sistematizó por primera vez Wilson Bentley. Era un naturalista americano, dedicó 40 años de su vida al estudio de los cristales de nieve. 40 años estudiando cristales de nieve, era un granjero, autodidacta, y fotografió más de 5000 cristales de nieve,

15:09 clasificó y estudió y sentó los fundamentos de alguna manera de la belleza simétrica de los de los cristales de nieve. Ahí lo tienen en una imagen, ¿no?

15:18 En química molecular tenemos otros ejemplos fantásticos de simetría, ¿no? Por ejemplo, tenemos aquí estas macromoléculas son una porfirinas, se llaman al núcleo central de un grupo hemo, de los que están precisamente forman parte constitutiva de la sangre con átomos de hierro, nitrógeno, carbono, hidrógeno y algunos otros grupos orgánicos. Y fíjense qué disposición tan absolutamente simétrica tiene esto que es una representación de la de las porfirinas, ¿no?

15:47 O, por ejemplo, en química molecular tenemos también los complejos de simetría, perdón, los complejos de proteínas que forman unos grupos de simetría fantásticos. Las proteínas en sí, en realidad, cada proteína aisladamente no tendría simetría, pero las proteínas tienden a formar complejos y esos complejos resultan tener unos grupos de simetría tan vistosos como estos, ¿no? Por ejemplo, este que es un grupo C15 significa que tiene rotaciones de orden 15, es decir, que rotando la quincieava parte de 2 pi, es decir, de los 360 grados, pues pasaría de aquí de cada uno de esta, digamos, de esta parte a la siguiente, y rotándolo 15 veces volvería la imagen sobre la original, ¿no? Esta, por ejemplo, tendría lo que se llama la estructura del grupo diédrico en cuatro elementos. El grupo diédrico en cuatro elementos tiene cuatro rotaciones, rotaciones de 90 grados y tiene cuatro reflexiones, reflexiones por aquí y reflexiones por aquí, ¿no? Bueno, no les voy a, digamos, a meter a ustedes en más carga matemática sobre qué tipo de simetrías son estos, la tetraédrica, la octaédrica o la icosaédrica, que recuerda claramente al icosaedro, ¿no? Es decir, al sólido platónico que tenemos con 20 vértices, con 20 triángulos, con 20 caras formadas por triángulos, ¿no? Bueno, pero, digamos, vean ustedes simplemente las imágenes. La charla trata de ser muy visual para que la sigan visualmente, vean las imágenes de las maravillosas simetrías

17:24 que forman, por ejemplo, los complejos de proteínas, ¿no?

17:27 Y, por supuesto, tenemos simetría. Naturalmente, en la astrofísica tenemos simetría también en la física de partículas, ¿no? Las galaxias, las galaxias con sus brazos de crecimiento espiral simétrico. Esta es una visión de la Vía Láctea con las zonas de crecimiento. Yo aquí casi prefiero mejor no entrar, dado donde estábamos, ¿no? Y, por ejemplo, esta imagen absolutamente también fantástica, que es una recreación de la imagen de colisiones de partículas en el LHC, ¿no? En el gran colisionador de partículas, ¿no? Aparecen de tal manera las simetrías. Bueno, de hecho, pues saben ustedes que en física de partículas hay toda una teoría que se llama la teoría de supersimetría, ¿no? Y en esa teoría de supersimetría, pues las formulaciones adoptan una forma completamente simétrica, de tal manera que las fórmulas matemáticas que reproducen digamos los modelos de esa teoría tienen una forma tan simétrica que a veces permite predecir partículas que todavía ni siquiera conocemos. Eso es lo que ha pasado, lo que ha ocurrido con algunas partículas elementales, que la fórmula matemática tenía una forma simétrica por cómo se producía y en esa forma simétrica aparecían partículas que todavía no conocíamos y que ha digamos nos ha llevado a buscarlas y a encontrarlas definitivamente mediante otro otras pruebas u otros indicios, ¿no? Bueno, la teoría de supersimetría, la teoría de supergravedad, la física cuántica está llena de este tipo de relaciones, ¿no?

19:01 De tal manera que tenemos simetría en la naturaleza, simetría en la química, simetría en la física, en la astrofísica, aparece la simetría por todos lados. No es extraño, por tanto, que en un mundo rodeado de simetría tanto al nivel perceptible sensorial como al nivel íntimo constitutivo de la materia, el arte, el arte que han hecho la humanidad, pues desde el principio estuviera digamos orientado a la simetría. Aquí a la izquierda tienen algunos dibujos prehistóricos, esto es, digamos, el original se ve mucho peor, esta es digamos la historiografía sobre el dibujo prehistórico, y bueno, pues uno detecta algunas pequeñas trazas de simetría en algunos o en concreto, pues por ejemplo, esto que parece ser un árbol es un poco simétrico, esto también parece un poco simétrico, pero otros pues son simplemente muestran un poco de realidad de perfil, por así decirlo, y no dan mucha muestra de simetría. Sin embargo, vamos a otras figuras evolucionando y esta otra figura ya de posterior a esta, pues vemos que hay, por ejemplo, una asombrosa simetría, una asombrosa búsqueda de la simetría incluso en estas figuras primitivas. Aquí, por ejemplo, hay una pareja en negro, aquí otra pareja en rojo, aquí hay otra otra pareja en rojo y en negro, es decir, que incluso en el arte paleolítico hay esta esta simetría. El arte, conforme avanza, ha usado y a veces ha abusado de la simetría. Esta es la cabeza de Ramsés II,

20:31 una de las más perfectas que existe en el arte egipcio. Aquí tienen las medidas de un lado y de otro. No hay prácticamente ninguna imperfección, ninguna diferencia en la cara. Es difícil encontrar realmente una cara tan simétrica, aunque a nosotros las caras de las personas normalmente nos parecen simétricas. Una medida de ellas nos revelaría que en absoluto son tan simétricas como parece y que hay notables diferencias entre una parte y otra, fundamentalmente provocadas por crecimiento, condiciones de contexto, condiciones de sistema, de ecosistema, etcétera, etcétera. Aquí tenemos a Santa María Novella en Florencia, Santa María Novella en Florencia es, digamos, una muestra perfecta de la arquitectura renacentista italiana, cargada, cuajada de simetrías, de proporciones. Como ven, cada ventana en un lado tiene la réplica simétrica en el otro, si aquí hay una, aquí hay una, si aquí hay una puerta, aquí hay otra. Es decir, el Renacimiento es, por así decirlo, el reino de la simetría, es donde la simetría se expresa de forma más rotunda, más perfecta. Aquí, por ejemplo, un jardín de tipo versallesco, desdeluego un jardín inglés, pero también completamente simétrico. El Taj Mahal, donde la simetría nos lleva una idea de crecimiento óptico. Es decir, el Taj Mahal, donde hay, digamos, desde la visión de los minaretes que van desfilando delante de la avenida hasta el propio edificio con sus cúpulas,

22:06 donde uno ve de alguna forma un crecimiento muy armónico. La idea de simetría va aparejada a la idea de crecimiento óptico. O la idea de la simetría como simetría compositiva, con esos leves anacronismos que crecía Borges al principio. Aquí tenemos, por ejemplo, en la Capilla Sixtina la entrega de las llaves a San Pedro de Pietro Perugino, y tenemos una composición absolutamente simétrica. La imagen no es simétrica, pero la composición sí lo es. Aquí hay, por ejemplo, pues digamos una persona con la cabeza inclinada y aquí otra persona con la cabeza inclinada, y ambas parecen seguir las líneas de simetría hacia el punto de fuga. El punto de fuga está perfectamente definido, el edificio del fondo, este baptisterio, también con cúpula octogonal, está perfectamente definido y simétrico. A ambos lados, los edificios también lo son. Incluso las masas de personas que hay al fondo parecen a peso distribuirse simétricamente. Alguna figura que está aquí de espaldas y aquí tenemos su contraparte también de espaldas. Es decir, es curiosa la simetría que se dibuja en este cuadro. Pero a veces la simetría se rompe, se pierde. Y es curiosa esta escultura que se llama "Alegoría de la simetría" de Valeriano Salvatierra, pues tiene esta pose, tampoco simétrica, y que precisamente hace conservar la simetría del cuerpo a pesar de que está puesta de la forma en que ustedes la ven, ¿no? Es decir, a pesar de que está puesta de esta manera tan, digamos, poco estable,

23:37 está, la está de alguna forma poco estable, pues sin embargo conserva la parte superior del tronco en absoluta simetría, cosa que no sería normal en una figura humana. De tal manera que la simetría a veces refiere a la composición y a veces refiere a la pérdida de la simetría. Bueno, pues con todo eso, un poco de introducción en el arte, nosotros vamos a hablar de simetrías especulares, o simetrías... hay un... he puesto aquí un una introducción de Vitruvio, de su famoso tratado de arquitectura, que de alguna manera inicia el tratadismo sobre la arquitectura y sobre la idea conceptual de la arquitectura. La simetría es la armonía apropiada que surge de los miembros de la obra misma y de la correspondencia métrica que resulta de las partes separadas en relación con el aspecto de la figura externa. Es decir, simetría, estamos hablando de partes y de la figura entera y de las partes y de la relación de las partes entre sí. Por eso hablamos cuando hablamos de simetría en la arquitectura. Lo digo así porque el concepto de simetría matemática o un concepto más estricto, sin embargo, el concepto de simetría arquitectónica es un concepto que nos lleva a muchos mundos. Y entonces vamos a ver, vamos a tratar de examinar algunos de ellos. Por ejemplo, simetría especular. La simetría especular es la simetría la obtenida por un espejo, la que uno se refleja cuando se mira al espejo todas las mañanas y se va a afeitar o se va a lavar la cara.

24:57 Matemáticamente solo hay una, pero desde un punto de vista arquitectónico podríamos distinguir verticales y horizontales, y cada una está asociada a un tipo de arquitectura. Hay simetrías por traslación. Simetría donde el hecho fundamental es el desplazamiento de un patrón regular a lo largo de un eje, o simetrías radiales, donde hay un punto que centra la simetría y digamos ese punto articula una un cosmos de expansión, es decir, articula un círculo, articula una elipse, articula una expansión en torno alrededor de ocupando el espacio de forma equidistante, o bien combinación con las anteriores. Hay simetrías, por tanto, de crecimiento, que corresponden matemáticamente a la unión de dos conceptos, al concepto de proporción. Proporción es la relación fija entre una medida y otra medida. Esa es la proporción. Un cuadrado, decimos que tiene proporción uno, porque la medida de un lado con respecto al otro lado es siempre la misma, ¿de acuerdo? Pero hay rectángulos de distinta proporción. Tendríamos el concepto de proporción convocado o digamos síncrono con el concepto de homotecia. El concepto de homotecia, si alguien conoce un poquito de matemáticas no le será extraño, pero si no lo conocen ya se lo cuento yo. El concepto de homotecia es simplemente el concepto que viene de una traslación que aumenta por una razón fija en función de la distancia a un punto desde el que se aplica la homotecia.

26:33 Homotecia, por ejemplo, es lo que tenemos cuando ponemos una linterna y vemos la reflexión que da la sombra de cualquier objeto de la linterna. Pueden ustedes hacerlo en casa, colocan la mano, colocan una linterna que es un foco puntual y reflejan la mano con la linterna arriba sobre una superficie, sobre la mesa. Poniendo la medida adecuada, poniendo la mano a la medida adecuada, pues podrán encontrar que la mano abajo reflejada, la sombra de la mano reflejada en la mesa, es el doble de la mano original. Si retiran la mano un poco más, pues podrán ver que es el triple o el cuádruple. Es decir, en función de la distancia que hay desde el punto del centro desde el cual se aplica la homotecia hasta el plano en el que tenemos la homotecia, hay una razón que es siempre fija y que, por tanto, depende de esa distancia. Ese es el concepto de homotecia, el concepto de sombra. El concepto de agrandamiento de forma homogénea. Bueno, y luego tenemos, digamos, simetrías que provienen de teselaciones en dos dimensiones. Una teselación, pues como ya saben es un mosaico, es decir, es la puesta en conjunto mediante teselas. Una teselación bidimensional es un cubrimiento del espacio bidimensional bidimensional y proviene de una traslación en dos dimensiones más grupos de simetría puntual. Es decir, grupos de simetría que actúan en lo que se llama el motivo básico o la loseta básica o incluso más reducidamente lo que se llama el motivo mínimo.

28:01 Y hay teselaciones 3D, que son traslaciones en tres dimensiones, es decir, que cubren un espacio de tres dimensiones más grupos de simetría puntual. Bueno, estos son los que nos encontramos fundamentalmente en la arquitectura nazarí. Seguro que han ido muchas veces a la Alhambra y se han fijado en ellos, en cómo las yeserías cubren paredes o cómo los mocárabes descubren techos. Y tenemos incluso pues simetrías helicoidales que implican un giro y una traslación simultánea. Es decir, cuando nosotros giramos alrededor de un punto y a la vez que giramos, desplazamos el punto en una dirección, pues girando y desplazando el punto en una dirección con los dos movimientos simultáneos, si los dos se aplican de forma homogénea, pues nos aparece lo que se llama un helicoide. Es un helicoide que no es, por otra parte, más que una curva matemática embebida en un espacio tridimensional. Bueno, esta es una pequeña taxonomía propia, porque en los libros de arquitectura y de no tienen este tipo de taxonomías y los de matemáticas tampoco. Los matemáticos simplifican más y consideran el concepto en abstracto. Vamos entonces a hacer un pequeño viaje por qué nos dicen las simetrías en Granada. Aquí tienen, por ejemplo, un dibujo de la fachada sur del Palacio de Carlos V. ¿De acuerdo? En la fachada sur del Palacio de Carlos V tenemos una completa simetría vertical, una clara simetría vertical ordenada aquí por este por esta línea central.

29:26 Tenemos siete módulos a cada lado que se repiten sistemáticamente. Yo he distinguido simplemente el color para que vean cuál es cada uno de los módulos, pero aparentemente son todos iguales. Y tenemos un módulo central que tiene además una proporción raíz de tres. Lo encontramos en muchos sitios, por ejemplo, estas son unas columnas en la fachada de la Casa de Castril, que como saben es la sede del museo arqueológico, un palacio renacentista. Bueno, es renacentista, protorenacentista, podríamos decir, construido por mandado construir por Hernando de Zafra, el secretario general del secretario Bueno, tenemos simetrías verticales como esta en el oratorio de la Madraza o incluso, por ejemplo, en la fachada principal de la catedral de Granada. Pues fíjense que buena parte de las figuras son simétricas, incluso cuando están, digamos, bien fundamentalmente dadas por curvas. La fachada principal de la catedral de Granada es barroca, como saben, está hecha por Alonso Cano, es un barroco hosteo, pero el barroco ahí rompe la línea recta y entra el reino de la curva, el barroco entra al reino de lo curvo. Y entra al reino de lo curvo por todos lados, como por ejemplo con esta espiral, que es una espiral arquimediana, y que ven ustedes dibujada la espiral arquimediana perfecta sobre el dibujo real, ¿no? Y bueno, pues esta espiral arquimediana eh digamos, se ajusta casi perfectamente a estos mascarones, ¿no?

31:13 O, por ejemplo, estos dos ángeles o angelotes, ¿no? que están aquí sujetando esta guirnalda, ven que tienen toda una exhibición de curvas, ¿no? Es una curva, de hecho, la forma en la que ponen o disponen el cuerpo del el brazo recogido sobre la cabeza, la espalda, los glúteos, las piernas, están viendo que esto es una una forma curva.

40:00 Bueno, aquí se ve claramente la fachada lateral de la Catedral de Granada con las simetrías verticales, el ritmo y la proporción.

41:45 Y aquí tenemos la Puerta del Perdón de la Catedral de Granada, mostrando simetrías verticales de equilibrio.

42:35 En detalle, en la Puerta del Perdón podemos observar más líneas de equilibrio y proporciones geométricas sobre la piedra.

45:35 Pasamos al Monasterio de San Jerónimo, con un bajorrelieve de tenantes con escudo y sus correspondientes ejes de simetría.

47:30 Aquí vemos las simetrías horizontales en la fachada sur del Palacio de Carlos V.

48:44 Y en el intradós del arco principal de la Puerta del Perdón de la Catedral encontramos simetrías centrales.

48:54 También tenemos simetrías radiales en arco, divididas en regiones con sus respectivos ángulos.

49:20 Para las simetrías radiales de tipo poligonal, recurrimos al Harmonices Mundi de Johannes Kepler y la construcción de polígonos estrellados.

50:00 Y pasamos a las simetrías radiales en su variante poligonal. Como ya estudió Johannes Kepler en sus Harmonices Mundi, la construcción de polígonos estrellados tiene una larga tradición geométrica. En Granada podemos verlos en elementos tan conocidos como la portada de acceso de la Abadía del Sacromonte, o en la cúpula de la sala de Dos Hermanas en la Alhambra, donde se emplean polígonos estrellados y estructuras tartésicas. Incluso aparecen en el rosetón de la fachada principal de la Catedral, Pasando a las simetrías radiales de tipo elíptico, encontramos también ejemplos de crecimiento mediante homotecias tanto en la Capilla Real como en los pináculos en cresterías. La fachada principal de la Catedral de Granada muestra proporciones muy cuidadas. Si avanzamos hacia las simetrías unidimensionales o frisos, los hallamos en las cresterías de la Capilla Real y en el oratorio de La Madraza. Y en tres dimensiones destacan los mocárabes, como los modelos del Corral del Carbón y el techo del oratorio en el Palacio de La Madraza. Por último, la fachada de la Casa de los Tiros ejemplifica la simetría y modulación mediante triángulos. Y esa teoría de los números de la proporción suele apoyarse en series de números. Estos pueden ser aritméticos o geométricos. Las aritméticas tienen la ventaja de que su actividad es la típica de las operaciones de la construcción. Mientras que las geométricas,

1:00:20 basadas en la proporción, ofrecen la posibilidad de dar colecciones de medidas coordinadas para dimensionar las figuras rectangulares que predominan en los edificios. Ruiz de la Rosa en "Traza y Simetría de la Arquitectura en la Antigüedad y el Medievo". Y el poder religioso conformando el "otro" centro del mundo, en posición simétrica al anterior. Y pasamos a los frisos.

1:30:04 Y el equilibrio que nos aportan, pues bueno, por ejemplo, estos bajorrelieves de tenantes con escudo del Monasterio de San Jerónimo. Fijaos que tienen también simetrías verticales.

0:00 what would be the twenty-second edition of the Lucas Lara lecture series. We have already been presenting talks here for a few years and it also gives us great joy to see that finding many familiar faces in this type of activities. Today we begin, as I say, this this series for the 2017-2018 academic year and we begin it with a mathematician. It is not the first time he has been here. This is the second time and, apart from the fact that we know each other personally and that let us say, I already knew of his worth and his communication skills and above all, right?, of generating environments where science becomes something pleasant to participate in, he had, let us say, in his first intervention in this house, he spoke about one of his favorite research topics, which is mathematical cryptography. And he spoke about one of the most famous cases that you have seen in many movies, probably, there are many of them that have already been made lately, I think there have been two in the last five years or something like that, which was about the World War II encryption machine that the Germans had, called Enigma, and which was believed to be undecipherable. It was precisely the story of this also very famous mathematician, this English mathematician, which gave rise, well, it has also given rise to quite a few legends by now, even forming part of what is a bit today, so to speak, the foundation of the very

1:33 of computing itself, who was able, let us say, to decipher the encrypted messages of the Enigma machine. He gave us that lecture and, indeed, those who were present, I do not know if there are any of those who were present there, remember it fondly, that is, they remember indeed that that was a very entertaining, very fun lecture and from which a lot was learned, right? But anyway, Álvaro, as I say, Álvaro is from Granada, from Monachil to be exact, and he has mainly worked at the University of Granada, he is a mathematician, he has worked in group theory and cryptography, those have been his main research topics. He has had research projects led by him working on this subject. But Álvaro has many facets, he is not a person, those of us who know him almost every day opens up a new facet for us, right? With Álvaro it is difficult to go anywhere because he can set up a canoe for you or he can take you climbing up a mountain or you can, you can get into trouble, right? So you have to think very carefully when he tells you let us go there anywhere, it is something that can sometimes turn out to be complicated. But he has done a lot of outreach and he has done very high quality outreach, uh. In fact, what he is going to tell us today comes a bit as a kind of spoken summary, because he already has a summary pardon the expression written, which is going to come out shortly as a book, where precisely he is going to tell us about, that is, these are these extended ideas,

3:10 but which began as an outreach activity within a series of general outreach activities that were being carried out throughout the year, which was walking through Granada and trying to see in the facades, in the buildings of Granada, what mathematics was behind there? What mathematics and how that mathematics could even be definitive or descriptive of an art? How, for example, we might perhaps differentiate from purely mathematically defined symmetries what a Baroque is from a Renaissance. A way, if you even want, to quantify something with such a subjective and personal aspect, uh, let us say, as our appreciation of an artistic object could be. But as I was saying, we are also in the process season and, well, earlier we were seeing there, we think that many of you, probably, of those who almost always come, have stayed watching uh on television, right? That there were also other interesting things there, but that is why I wanted to say that he has also been a politician. He has been a deputy, a deputy and senator he has been, right? In the Government of Andalusia and he is also a pundit, do not take that too, too badly, right? That is, let us say, despite that, he knows mathematics and he knows how to tell us about it and he is going to tell us about it. But he has almost also been a radio pundit, that already, that is already big words, but I hope that getting along with a pundit already is something else, right?

4:43 Uh, I think so, I I had resigned myself, I had not resigned myself either. Very well, then, I think you know him a little more now and and I leave him to you so he can tell us about this symmetry in Granada, whenever you want.

5:12 Well, I want to start by thanking Emilio, first of all, Emilio Alfaro, as director of this series, not only the invitation to come here for the second time. I like this place because I know this is a house of science where they talk and explain very good science and do very good outreach. He has already mentioned it, it is the second time I come and my tremendous gratitude for having invited me this second time and also for making these introductions that he makes for me, right? Which almost make me blush, right? But well, basically he has framed the topic a bit, right? If you will allow me the bullfighting analogy, he has framed the matter a bit. This is a complicated evening because we have a political thriller on television, so there is very hard competition, right?, to give a lecture, but I am going to try to entertain you and I am going to try to tell you something that in some way suggests new ideas or that in some way gives you information and gives you a new perspective on what we have every day in the city of Granada, right? Eh, well, that being said, as Emilio also mentioned before, this started out as an outreach activity. I started by doing uh let us say as an alternative in some uh in some courses that I gave in some let us say top-performing high school students who came to Granada, who had no other alternative, who were taken almost always to the same places, so I tried to make a mathematics route for them, since they were coming

6:43 to to some scientific campuses, some summer scientific campuses, I tried to make a mathematics route for them and well, by making the mathematics routes, I gradually found that the monuments had much more mathematics behind them than they appeared to, right? Sometimes they appeared to be a building and they had a lot and sometimes they did not appear to be anything and they had it too. And that those mathematics were not only, let us say, formal mathematics, but sometimes they were very closely linked to the history of the building itself and to the construction itself, right? Well, I have told you about this in many ways, but I wanted to take an approach through symmetry today, right? Uh, through symmetry, understanding symmetry as an inherent fact of nature and human work, right? So, I am going to refer first of all, I have tried to make a bit of a classification of what we are going to tell. I am going to talk a bit about symmetry in science, given that we are in a great house of science. I am going to talk about symmetry in science and I am going to refer, I am not trying to make any systematics, of course, no compendium, but rather to show some points that raise where symmetries appear in science. Then, I will address how symmetry appears in the monumental heritage of Granada and I will address it from the point of view of the structure of beauty. These are not all the mathematics that happen, mathematics are much more, because there are non-symmetric mathematics,

8:07 that is, there are mathematics where the concept of symmetry is not relevant, but uh I am going to focus it from the point of view of symmetry because I believe that the concept of symmetry is very closely linked to the concept of the understanding of beauty culturally, by the human being, right? Uh, I am going to give a brief appendix on future directions to link it with the research that right now concerns me, in fact, that is, this topic that started out as an outreach activity, which went on to become a goal of making a book that is already at the printing press and has 600 pages and is going to be presented next December, 600 pages and seven hundred and some images, well, it has finally become a research topic, that is, it has become a research topic because it has a sufficient amount of open questions to effectively inquire into them. And I am going to give you some directions on which we are currently inquiring uh among several components, among some mathematicians, a computer scientist that we are working on, right? And finally I am going to talk about a small epilogue to leave you with a good taste in your mouth on a day of such tough competition, as we have said, of Lorca and symmetry, very linked to the city and very linked to the concept we want to see, right? Uh, I am going to start with a phrase by Borges, which I have borrowed from our host, Emilio Alfaro likes it, right?

9:32 Reality likes symmetries and slight anachronisms, Jorge Luis Borges said in The South. Uh, it is present everywhere, because, among other things, we see the world in a way uh somehow like that, right? But continuous symmetry also bores us, we are bored by a symmetry that is strictly repetitive and we try to pause that symmetry, we try in some way to put a counterpoint to it, right? he was undoubtedly referring to something more with the slight anachronism, but he was referring to the breaking of this symmetry. Well, in nature we find symmetry everywhere, we find symmetry in practically almost all animals, well, they have a specular plane of symmetry, almost all insects, practically all insects, and those that do not have a specular plane of symmetry it is because, let us say, their dimension, their movement in space is defined by, not a direction of advance. Almost all animals that have a plane of specular symmetry, a central mirror symmetry plane, have a direction of forward movement. And those that do not have specular symmetry it is because the direction of advance is spatial everywhere. For example, a spider or for example an octopus, let us say the spider's symmetry is defined which is not central, which is not specular, but orthogonal, is defined because they spin spider webs, that is, because their occupation is spatial on all sides at the same time or, for example, starfish

11:01 are also defined by by by this fact, right?

11:05 Can we think of a non-symmetric animal? At least, can we think of a non-symmetric vertebrate animal, a non-symmetric higher animal? Can anyone think of one? The sole

11:24 Indeed. Indeed. Indeed, it is difficult to think of a non-symmetric animal. It is difficult, almost all animals, fish, almost all animals can be split in half, they have at least an external axis of symmetry, although internally the viscera are distributed differently, but the sole or this type of fish, it turns out to seem non-symmetric, they have both sides, both eyes on one side, precisely because it lives and walks on the seabed. Well, it is a pity that we do not have the network and a lot, but I am going to I am going to mention Vimeo to you, go to Vimeo, which is a repository, it is like a stock of video, and then on Vimeo type evolution of the sole, which is precisely what I had here. I do not know why everything is failing today, but I say, it works fine for me at the faculty of human sciences. And recently I have been at IEF, well I get there, I open the computer and it connects the router in Austria, but here, anyway, it must be the computer. The evolution of a sole. This video, I will tell you about it, we cannot have it, but it shows how how the evolution of a sole is from the time it is born. The sole is born from a very small age as an absolutely symmetric fish, with the two eyes one on each side, and as it grows from its initial birth state, one eye moves upwards little by little, little by little, until the eye reaches the dorsal part, up to the axis of symmetry and finally moves to the other side.

12:58 That is, the sole has evolved towards this situation, but even the only animal that, well, few animals, there is some other, but very rare, each one rarer, of the few higher animals that we find to be non-symmetric are born as symmetric animals. This is fundamentally originated because the direction of movement imposes a symmetry condition, it is the condition of space occupation. The direction of movement and the condition of symmetry impose an occupation of space to one side or the other while one advances in a direction, while one follows an arrow, right?

13:33 But we have, let us say, in science another very classical example of symmetry, right? Traditionally snow stars and science fans to see symmetry, the fabulous hexagonal symmetry of snow crystals. Each snow crystal is different. Apparently they have hexagonal symmetry, but in reality it is not hexagonal symmetry, crystallographically it is a trigonal symmetry, which is formed by how water molecules join together. There is one hydrogen atom, two oxygen atoms, those atoms form a trigonal structure, but trigonal in space, not trigonal in a plane, and by joining each hydrogen atom with the oxygen ones, they form a lattice that gives the appearance of a hexagonal lattice, although crystallographically it is actually a trigonal lattice, right? Well, the fact that each snowflake is different is forced by how water molecules join together. Rapid growth gives rise to what is called fractality, that is, it gives rise to what is called self-similar repetition of the model at smaller scales, right? And there appear, well, all these forms of snow stars that you will have seen on numerous occasions and that, let us say, was systematized for the first time by Wilson Bentley. He was an American naturalist, he dedicated 40 years of his life to the study of snow crystals. 40 years studying snow crystals, he was a farmer, self-taught, and photographed more than 5000 snow crystals, classified and studied and laid the foundations in some way of the symmetric beauty of snow crystals.

15:15 There you have it in an image, right?

15:18 In molecular chemistry we have other fantastic examples of symmetry, right? For example, we have here these macromolecules are porphyrins, they are called the central nucleus of a heme group, of those that precisely form a constitutive part of the blood with iron, nitrogen, carbon, hydrogen atoms and some other organic groups. And look at what an absolutely symmetric arrangement this has which is a representation of porphyrins, right?

15:47 Or, for example, in molecular chemistry we also have symmetry complexes, sorry, protein complexes that form fantastic symmetry groups. Proteins themselves, in reality, each isolated protein would not have symmetry, but proteins tend to form complexes and those complexes turn out to have symmetry groups as striking as these, right? For example, this one which is a C15 group means that it has order 15 rotations, that is, by rotating the fifteenth part of 2 pi, that is, of 360 degrees, it would pass from here from each one of this, let us say, of this part to the next, and rotating it 15 times the image would return to the original one, right? This one, for example, would have what is called the structure of the dihedral group in four elements. The dihedral group in four elements has four rotations, 90-degree rotations and it has four reflections, reflections here and reflections here, right? Well, I am not going to, let us say, burden you with more mathematical load about what kind of symmetries these are, the tetrahedral, the octahedral or the icosahedral, which clearly recalls the icosahedron, right? That is, the Platonic solid that we have with 20 vertices, with 20 triangles, with 20 faces formed by triangles, right? Well, but, let us say, simply look at the images. The talk tries to be very visual so that you can follow it visually, look at the images of the marvelous symmetries

17:24 formed, for example, by protein complexes, right?

17:27 And, of course, we have symmetry. Naturally, in astrophysics we also have symmetry in particle physics, right? Galaxies, galaxies with their arms of symmetric spiral growth. This is a view of the Milky Way with the growth zones. Here I almost prefer not to get into it, given where we were, right? And, for example, this image which is also absolutely fantastic, which is a recreation of the image of particle collisions at the LHC, right? In the large particle collider, right? Symmetries appear in such a way. Well, in fact, you know that in particle physics there is a whole theory called supersymmetry theory, right? And in that theory of supersymmetry, formulations take on a completely symmetrical form, in such a way that the mathematical formulas that reproduce, let's say, the models of that theory have a form so symmetrical that it sometimes allows us to predict particles that we do not even know yet. That is what has happened, what has occurred with some elementary particles, that the mathematical formula had a symmetrical form because of how it was produced and in that symmetrical form particles appeared that we did not yet know and that, let's say, has led us to look for them and to find them definitively through other tests or other indications, right? Well, the theory of supersymmetry, the theory of supergravity, quantum physics is full of this type of relations, right? In such a way that we have symmetry in nature, symmetry in chemistry, symmetry in physics, in astrophysics,

19:08 symmetry appears everywhere. It is not strange, therefore, that in a world surrounded by symmetry both at the perceptible sensory level and at the intimate constitutive level of matter, art, the art that humanity has made, well, from the beginning was, let's say, oriented towards symmetry. Here on the left you have some prehistoric drawings, this is, let's say, the original looks much worse, this is, let's say, the historiography on prehistoric drawing, and well, one detects some small traces of symmetry in some or specifically, well, for example, this which seems to be a tree is a bit symmetrical, this also seems a bit symmetrical, but others simply show a bit of reality in profile, so to speak, and do not show much of symmetry. However, let's look at other figures evolving and this other figure already subsequent to this one, well we see that there is, for example, an astonishing symmetry, an astonishing search for symmetry even in these primitive figures. Here, for example, there is a couple in black, here another couple in red, here there is another couple in red and black, that is to say, that even in Paleolithic art there is this symmetry. Art, as it advances, has used and sometimes abused symmetry. This is the head of Ramesses II, one of the most perfect that exists in Egyptian art. Here you have the measurements of one side and the other. There is practically no imperfection, no difference in the face.

20:41 It is difficult to really find such a symmetrical face, although human faces normally seem symmetrical to us. A measurement of them would reveal to us that they are by no means as symmetrical as they seem and that there are notable differences between one part and another, fundamentally caused by growth, context conditions, system conditions, ecosystem, and so on and so forth. Here we have Santa Maria Novella in Florence, Santa Maria Novella in Florence is, let's say, a perfect sample of Italian Renaissance architecture, loaded, packed with symmetries, with proportions. As you see, each window on one side has its symmetrical replica on the other, if there is one here, there is one here, if there is a door here, there is another one. That is to say, the Renaissance is, so to speak, the realm of symmetry, it is where symmetry expresses itself in a more resounding, more perfect way. Here, for example, a Versailles-type garden, certainly an English garden, but also completely symmetrical. The Taj Mahal, where symmetry leads us to an idea of optical growth. That is to say, the Taj Mahal, where there is, let's say, from the view of the minarets parading in front of the avenue to the building itself with its domes, where one sees in some way a very harmonic growth. The idea of symmetry goes hand in hand with the idea of optical growth. Or the idea of symmetry as compositional symmetry,

22:17 with those slight anachronisms that Borges mentioned at the beginning. Here we have, for example, in the Sistine Chapel, Christ Handing the Keys to St. Peter by Pietro Perugino, and we have an absolutely symmetrical composition. The image is not symmetrical, but the composition is. Here there is, for example, let's say a person with an inclined head and here another person with an inclined head, and both seem to follow the lines of symmetry towards the vanishing point. The vanishing point is perfectly defined, the building in the background, this baptistery, also with an octagonal dome, is perfectly defined and symmetrical. On both sides, the buildings are too. Even the crowds of people in the background seem to be distributed symmetrically by weight. Some figure that is here from behind and here we have its counterpart also from behind. That is to say, it is curious the symmetry that is drawn in this painting. But sometimes symmetry is broken, it is lost. And this sculpture called "Allegory of Symmetry" by Valeriano Salvatierra is curious, well it has this pose, not very symmetrical either, and which precisely makes the body preserve symmetry despite the fact that it is placed in the way that you see it, right? That is to say, despite the fact that it is placed in this way so, let's say, unstable, it is, it is somehow somewhat unstable, well nevertheless it preserves the upper part of the trunk in absolute symmetry,

23:44 something that would not be normal in a human figure. In such a way that symmetry sometimes refers to composition and sometimes refers to the loss of symmetry. Well, with all that, a bit of an introduction in art, we are going to talk about specular symmetries, or symmetries... there is a... I have put here an introduction by Vitruvius, from his famous treatise on architecture, which in some way initiates the treatise-writing on architecture and on the conceptual idea of architecture. Symmetry is the appropriate harmony that arises from the members of the work itself and from the metric correspondence resulting from the separate parts in relation to the aspect of the external figure. That is to say, symmetry, we are talking about parts and the entire figure and the parts and the relation of the parts among themselves. That is why we speak when we talk about symmetry in architecture. I say it this way because the concept of mathematical symmetry or a stricter concept, however, the concept of architectural symmetry is a concept that leads us to many worlds. And so we are going to see, we are going to try to examine some of them. For example, specular symmetry. Specular symmetry is the symmetry obtained by a mirror, the one that one reflects when looking in the mirror every morning and is going to shave or wash their face. Mathematically there is only one, but from an architectural point of view we could distinguish vertical and horizontal ones,

25:04 and each one is associated with a type of architecture. There are symmetries by translation. Symmetry where the fundamental fact is the displacement of a regular pattern along an axis, or radial symmetries, where there is a point that centers the symmetry and let's say that point articulates a cosmos of expansion, that is to say, it articulates a circle, it articulates an ellipse, it articulates an expansion around occupying space in an equidistant way, or else a combination with the previous ones. There are symmetries, therefore, of growth, which correspond mathematically to the union of two concepts, to the concept of proportion. Proportion is the fixed relation between one measurement and another measurement. That is proportion. A square, we say it has proportion one, because the measurement of one side with respect to the other side is always the same, right? but there are rectangles of different proportion. We would have the concept of proportion summoned or let's say synchronous with the concept of homothety. The concept of homothety, if anyone knows a little bit of mathematics it will not be strange to them, but if they do not know it I will tell you about it. The concept of homothety is simply the concept that comes from a translation that increases by a fixed ratio as a function of the distance to a point from which the homothety is applied. Homothety, for example, is what we have when we turn on a flashlight and see the reflection given by the shadow of any object from the flashlight.

26:41 You can do it at home, you place your hand, you place a flashlight which is a point source and reflect the hand with the flashlight up onto a surface, onto the table. By putting the appropriate measurement, by putting the hand at the appropriate measurement, well you will be able to find that the hand reflected below, the shadow of the hand reflected on the table, is double the original hand. If you withdraw the hand a bit more, well you will be able to see that it is triple or quadruple. That is to say, as a function of the distance from the center point from which the homothety is applied to the plane in which we have the homothety, there is a ratio that is always fixed and that, therefore, depends on that distance. That is the concept of homothety, the concept of shadow. The concept of homogeneous enlargement. Well, and then we have, let's say, symmetries that come from two-dimensional tessellations. A tessellation, well as you already know is a mosaic, that is, it is the coming together by means of tesserae. A two-dimensional tessellation is a covering of the two-dimensional space and comes from a translation in two dimensions plus point symmetry groups. That is to say, symmetry groups that act on what is called the basic motif or the basic tile or even more reductively what is called the minimum motif. And there are 3D tessellations, which are translations in three dimensions, that is to say, that cover a three-dimensional space plus point symmetry groups.

28:09 Well, these are the ones we fundamentally find in Nasrid architecture. Surely you have gone to the Alhambra many times and have noticed them, how the plasterwork covers walls or how the mocárabes cover ceilings. And we even have helical symmetries that imply a simultaneous rotation and translation. That is to say, when we rotate around a point and at the same time that we rotate, we displace the point in one direction, well by rotating and displacing the point in one direction with the two simultaneous movements, if both are applied in a homogeneous way, well what is called a helicoid appears to us. It is a helicoid which is, on the other hand, nothing more than a mathematical curve embedded in a three-dimensional space. Well, this is a small taxonomy of my own, because architecture books don't have this type of taxonomies and mathematics books don't either. Mathematicians simplify more and consider the concept in the abstract. So let's take a short journey through what symmetries tell us in Granada. Here you have, for example, a drawing of the south façade of the Palace of Charles V. Right? On the south façade of the Palace of Charles V we have a complete vertical symmetry, a clear vertical symmetry ordered here by this by this central line. We have seven modules on each side that repeat systematically. I have simply distinguished the color so you can see which one each of the modules is,

29:33 but apparently they are all the same. And we have a central module that also has a square root of three proportion. We find it in many places, for example, these are some columns on the façade of the Casa de Castril, which as you know is the seat of the archaeological museum, a Renaissance palace. Well, it is Renaissance, proto-Renaissance, we could say, built by ordered to be built by Hernando de Zafra, the general secretary of the secretary Well, we have vertical symmetries like this in the oratory of the Madraza or even, for example, on the main façade of the Cathedral of Granada. Well, notice that a good part of the figures are symmetrical, even when they are, let's say, well fundamentally given by curves. The main façade of the Cathedral of Granada is baroque, as you know, it is made by Alonso Cano, it is an ostentatious baroque, but the baroque there breaks the straight line and enters the realm of the curve, the baroque enters the realm of the curved. And it enters the realm of the curved everywhere, as for example with this spiral, which is an Archimedean spiral, and which you see drawn the perfect Archimedean spiral over the actual drawing, right? And well, this Archimedean spiral uh let's say, fits almost perfectly to these mascarons, right? Or, for example, these two angels or cherubs, right? that are here holding this garland, you see that they have a whole display of curves, right?

31:22 It is a curve, in fact, the way in which they place or arrange the body of the the arm tucked over the head, the back, the buttocks, the legs, you are seeing that this is a a curved shape.

40:00 Well, here you can clearly see the side façade of the Cathedral of Granada with the vertical symmetries, the rhythm and the proportion.

41:45 And here we have the Gate of Forgiveness of the Cathedral of Granada, showing vertical symmetries of balance.

42:35 In detail, at the Gate of Forgiveness we can observe more lines of balance and geometric proportions on the stone.

45:35 We move on to the Monastery of San Jerónimo, with a bas-relief of shield-bearing supporters and their corresponding axes of symmetry.

47:30 Here we see the horizontal symmetries on the south façade of the Palace of Charles V.

48:44 And in the intrados of the main arch of the Gate of Forgiveness of the Cathedral we find central symmetries.

48:54 We also have radial symmetries in an arch, divided into regions with their respective angles.

49:20 For polygonal-type radial symmetries, we turn to Johannes Kepler's Harmonices Mundi and the construction of star polygons.

50:00 And we move on to radial symmetries in their polygonal variant. As Johannes Kepler already studied in his Harmonices Mundi, the construction of star polygons has a long geometric tradition. In Granada we can see them in such well-known elements as the access portal of the Abbey of Sacromonte, or in the dome of the Hall of the Abencerrages in the Alhambra, where star polygons and Tartessian structures are used. They even appear in the rose window of the main façade of the Cathedral, Moving on to elliptic-type radial symmetries, we also find examples of growth through homothetic transformations both in the Royal Chapel and in the pinnacles on crestings. The main façade of the Cathedral of Granada shows very careful proportions. If we move towards one-dimensional symmetries or friezes, we find them in the crestings of the Royal Chapel and in the oratory of La Madraza. And in three dimensions, the mocárabes stand out, such as the models of the Corral del Carbón and the ceiling of the oratory in the Palace of La Madraza. Finally, the façade of the Casa de los Tiros exemplifies symmetry and modulation using triangles. And that theory of the numbers of proportion is usually supported by series of numbers. These can be arithmetic or geometric. Arithmetic ones have the advantage that their activity is typical of construction operations. While geometric ones, based on proportion, offer the possibility of providing collections

1:00:26 of coordinated measurements to dimension the rectangular figures that predominate in buildings. Ruiz de la Rosa in "Tracing and Symmetry of Architecture in Antiquity and the Middle Ages". And the religious power shaping the "other" center of the world, in a position symmetrical to the previous one. And we move on to friezes.

1:30:04 And the balance they provide us, well, for example, these bas-reliefs of shield-bearing supporters from the Monastery of San Jerónimo. Notice that they also have vertical symmetries.